通信网理论基础
第二章习题2.2求M/M/m（n）中，等待时间w的概率密度函数。解：M/M/m（n）的概率分布为：
?m?1(m?)p0?k!?r?0
k
p0?
(m?)m!
m
1
n?m?1
1
?
?1
pk
?(m?)kp0k!mmk?p0?k!?0?
0?k?m?1m?k?nk?n
假定nm，n≥0，现在来计算概率P{wx}，既等待时间大于x的概率。
P{w?x}?
?
n
pj?Pj{w?x}
j?0
其中，Pj{wx}的概率为：
Pj{w?x}?0Pj{w?x}?
0?j?m?1
?m?x
?e
i?0
j?m
?
(m?x)i!
i
m?j?n?1m?j?n
Pj{w?x}?1
可得：
P{w?x}?
?
n?1
Pj?
m
j?m
?
j?m
e
?m?x
?
(m?x)i!
i
?Pn(m?x)i!
i
i?0j?m
?
m
?n?1P0?m!?j?m
mn?m?1
j
?
?
?
e
?m?x
?
i
i?0
?n
n
?
m
m!
P0
?
e
?m?x
(m?x)i!
?
m?i
i?0
1
m
?Pn
若n则
P{w?x}?
P01
?
(?m)m!
e
?(m?)x
特别的，新到顾客需等待的概率为：
P{W?0}?
P01
?
(?m)m!
m
1
而
fw(x)?
mP0m!(1)
m
e
?m?x
n?m?2
[?
m
(m?)
?
(?x)i!]
i
?m
m
(?x)
n?m?1
i?0n?m?1
(n?m?1)!
?m
n
(m)
(n?m?1)!
在n注：
fw(x)?
m?1
mP0m!(1)
k
m
?
m
(m?)e
?(m?)x
P{w?0}?
?P
k?0
P{w}?Pn
2.4求M/D/1排队问题中等待时间W的一、二、三阶矩m1、m2、m3，D表示服务时间为定值b，到达率为?。解：
G(s)?s(1)sB(S)
其中B(s)?
?
?
?(t?b)e
?
?st
dt?e
?sb
0
从而
?
G(s)?
s(1)se
?sb
又G(s)?
j
?
gis
i
i?0
?i?gis?i?0
g0?11b
?(?sb)s?j!j?0
?s(1)
(1)(2?bb)
324
g1?
b(1)
2
2(1b)
4
2
g2?
12(1b)
3
g3?
?(1?2?b)(1)?b24(1b)
4
?
2
(?b)
m1G?(0)g1?
?b
2(1)(2)?b6(1)
243
m2?G(0)?g2?2?
m3G?(0)?g3?6?
(1?2?)?b4(1)
3
2.5求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W，其中B是二阶指数分布：
f(t)?1e
解：M/B/1
1t
?(1)?2e
2t
?1,?2?0
0?1
2
B(S)?
?
?
f(t)e
?st
dt?
1?1?s
?
(1)?2
0
?2?s
2?
w1B?(
